இருபடிச் சமன்பாடுகள்

பலபடிச் சமன்பாடுகளைப் பற்றிப் பேசத் தொடங்கினோம். $x$ என்பது ஒரு மாறி (variable) என்றால், அதன் வர்க்கம், கனம், நான்காம் படி ஆகியவற்றை $x^{2},$ $x^{3}$ , $x^{4}$ என்று எழுதலாம். இந்தப் படிகளை வெவ்வேறு எண்களால் பெருக்கி, இவற்றையெல்லாம் கூட்டினால் நமக்குக் கிடைப்பது அந்த மாறி $x$ -ன் சார்பு (function). இந்தச் சார்புக்கு $n$ வரிசை கொண்ட பலபடிச் சார்பு (polynomial function) என்று பெயர். இப்படிக் கிடைக்கும் பலபடிச் சார்பை சுழியத்துக்கு (Zero) சமப்படுத்தினால் கிடைப்பது $n$ வரிசையுடைய பலபடிச் சமன்பாடு.

$a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + . . . + a_{n} x^{n} = 0$

இந்தச் சமன்பாட்டில் $n = 1$ என்றால் நமக்குக் கிடைப்பது மிக எளிதான ‘ஒருபடிச் சமன்பாடு'.

$a_{0} + a_{1} x = 0$

இந்தச் சமன்பாட்டுக்கு மிக எளிதான விடை உள்ளது.

$x = - \frac{a_{0}}{a_{1}}, a_{1} \neq 0$

ஒருபடிச் சமன்பாட்டுக்கு அடுத்தது, இருபடிச் சமன்பாடு (quadratic equation).

$a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} = 0$

பொதுவாக கணிதப் புத்தகங்களில் இந்தச் சமன்பாட்டை இப்படி எழுதியிருப்பார்கள்:

$a x^{2} + b x + c = 0$

இரண்டுமே ஒன்றுதான். இரண்டிலும் கெழுக்கள் (co-efficients - $x^{n}$ -க்கு முன் இருக்கும் $a_{n}$ ) வேறு குறியீடுகளால் குறிக்கப்படுகின்றன. $n$ வரிசையுள்ள ஒரு பலபடிச் சமன்பாட்டுக்கு $n$ விடைகள் உள்ளன என்று நிரூபிக்கலாம். அதாவது, இருபடிச் சமன்பாட்டுக்கு இரண்டு விடைகள். அப்படியென்றால் என்ன அர்த்தம்? $x$ என்னும் மாறி எந்த மதிப்பையும் எடுத்துக்கொள்ளலாம் என்று பார்த்தோம். $x$ எந்த மதிப்பை எடுத்துக்கொண்டாலும், இடதுபக்கம் உள்ள பலபடிச் சார்பு, சுழியமாகுமா? ஆகாது. $x$ , குறிப்பிட்ட இரண்டு மதிப்பை எடுக்கும்போதுதான் இருபடிச் சார்பு, சுழியம் என்னும் மதிப்பைப் பெறும். $x$ பிற மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்ளும்போது இருபடிச் சார்பின் மதிப்பு சுழியமாக இல்லாமல் வேறு மதிப்புகளைப் பெறும். மேலே குறிப்பிட்ட இருபடிச் சார்பு, $x$ என்ற மாறி, $p$ , $q$ ஆகிய மதிப்புகளைப் பெறும்போது சுழியமாகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். அப்படியென்றால்,

$(x - p) (x - q) = 0$

அல்லது, $x^{2} - (p + q) x + p q = 0$

மேலே உள்ள சமன்பாட்டை முதலில் எழுதிய இருபடிச் சமன்பாட்டுடன் ஒப்பிட்டுப் பார்த்தால், நாம் இவ்வாறு சொல்லமுடியும்:

$p + q = - \frac{b}{a}$

$p q = \frac{c}{a}$

இந்த இரண்டு சமன்பாடுகளையும் கொண்டு, $p$ , $q$ ஆகியவற்றை $a$ , $b$ , $c$ ஆகியவை மூலம் கொடுக்கமுடியும்.

${(p + q)}^{2} = p^{2} + q^{2} + 2 p q$

${(p - q)}^{2} = p^{2} + q^{2} - 2 p q$

${(p - q)}^{2} = {(p + q)}^{2} - 4 p q = \frac{b^{2} - 4 a c}{a^{2}}$

இரண்டு பக்கத்துக்கும் வர்க்கமூலம் எடுத்தால், கிடைப்பது:

$p - q = \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{a}$

இப்போது, $p$ , $q$ ஆகியவற்றைப் பெறலாம்:

$p = \frac{(p + q) + (p - q)}{2} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

$q = \frac{(p + q) - (p - q)}{2} = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

பள்ளிக்கூடத்தில் கணிதம் படிக்கும்போது இவற்றைப் பார்த்த ஞாபகம் வருகிறதா? இந்தத் தீர்வை பல இடங்களில் மீண்டும் மீண்டும் பயன்படுத்துவோம். ஒரு பலபடிச் சமன்பாட்டின் விடைகள், அந்தச் சமன்பாட்டின் மூலங்கள் எனப்படும்.

இப்போது விகிதமுறா எண்களுக்கு (irrational numbers) மீண்டும் வருவோம். எல்லா விகிதமுறா எண்களையும் பலபடிச் சமன்பாடுகளின் மூலங்களாகப் பார்க்கமுடியும். இந்தச் சமன்பாட்டின் கெழுக்கள் (co-efficients) விகிதமுறும் எண்களாக இருந்தாலும்கூட, மூலங்கள் விகிதமுறா எண்களாக வரும். உதாரணத்துக்கு $\sqrt{2}$ என்பது $x^{2} - 2 = 0$ என்னும் இருபடிச் சமன்பாட்டின் ஒரு மூலமாகும். மற்றொரு மூலம் $- \sqrt{2}$ .

இப்போது மொத்தம் மூன்றுவிதமான எண்கள் இருப்பதாக நீங்கள் நினைக்கலாம். ஒன்று முழு எண்கள். இரண்டு விகிதமுறு எண்கள் (பின்னங்கள்). மூன்றாவதாக பலபடிச் சமன்பாடுகளின் மூலங்களான விகிதமுறா எண்கள்.

ஆனால் உண்மை அதுவன்று! இந்த எண்களுக்குள் சிக்காத பல எண்கள் உள்ளன. அப்படிப்பட்ட எண்களில் இரண்டு மிகவும் சுவாரசியமான எண்களை நாளை பார்ப்போம்!