விகிதமுறா எண்கள்

நேற்று, $\sqrt{2}$ என்ற எண்ணைப் பற்றிப் பார்த்தோம். அதை இரண்டு முழு எண்களின் பின்னமாகக் கொடுக்கமுடியுமா என்ற கேள்வியை எழுப்பினோம்.

ஒற்றைப்படை எண்களும் இரட்டைப்படை எண்களும்

1, 3, 5, 7 போன்ற எண்களை ஒற்றைப்படை எண்கள் என்கிறோம். 2, 4, 6, 8 போன்ற இரண்டால் முற்றிலுமாக வகுபடக்கூடிய எண்களை இரட்டைப்படை எண்கள் என்கிறோம். ஒற்றைப்படை எண்களை இரண்டால் முற்றிலுமாக வகுக்கமுடியாது. மீதி வரும். இரண்டு இரட்டைப்படை எண்களைக் கூட்டினால் வருவது இரட்டைப்படை எண். அதேபோல இரண்டு ஒற்றைப்படை எண்களைக் கூட்டினால் கிடைப்பதும் இரட்டைப்படை எண்ணே. ஆனால் ஓர் ஒற்றைப்படை எண்ணையும் ஓர் இரட்டைப்படை எண்ணையும் கூட்டினால் கிடைப்பது ஒற்றைப்படை எண். சில எண்களை எடுத்து கூட்டிப் பார்த்து உறுதி செய்துகொள்ளுங்கள்.

அடுத்து இந்த ஒற்றை, இரட்டைப்படை எண்களை வைத்து பெருக்கிப் பாருங்கள். இரண்டு ஒற்றைப்படை எண்களைப் பெருக்கினால் கிடைக்கும் விடை ஒற்றைப்படை எண். இரண்டு இரட்டைப்படை எண்களைப் பெருக்கினால் கிடைப்பது இரட்டைப்படை எண். ஓர் இரட்டைப்படை எண்ணையும் ஓர் ஒற்றைப்படை எண்ணையும் பெருக்கினால் கிடைப்பது இரட்டைப்படை எண்.

இதை வைத்துப் பார்த்தால், ஓர் எண்ணின் வர்க்கம் இரட்டைப்படை எண்ணாக இருந்தால் அந்த எண்ணுமே இரட்டைப்படை எண்ணாகத்தான் இருக்கவேண்டும் என்று புரியும்.

இப்பொழுது நாம் எடுத்துக்கொண்ட அடிப்படைக் கேள்விக்கு மீண்டும் வருவோம்.

எந்த பின்னத்தை எடுத்துக்கொண்டாலும் அதற்கென சுருக்கப்பட்ட ஒரு வடிவம் உள்ளது. $\frac{p}{q}$ என்ற எண்ணை எடுத்துக்கொள்ளுங்கள். இங்கு $p$, $q$ இரண்டுமே முழு எண்கள். இவை இரண்டையும் $r$ என்ற சிறிய எண்ணால் வகுக்க முடியும் என்றால், அந்த வகுத்தலைச் செய்துவிடவேண்டும்.

உதாரணத்துக்கு, $\frac{4}{6}$-ஐ எடுத்துக்கொள்ளுங்கள். 4, 6 ஆகிய இரண்டு எண்களையும் 2-ஆல் வகுக்கமுடியும். எனவே வகுத்துவிடுங்கள். நமக்குக் கிடைப்பது $\frac{2}{3}$. இனி, 2, 3 ஆகியவற்றை இவற்றைவிடச் சிறிய எண் எதனாலும் வகுக்க முடியாது. இதுதான் இந்த பின்னத்தின் மிகவும் சுருக்கப்பட்ட வடிவம். இதற்குமேல் இந்த பின்னத்தை சுருக்க முடியாது.

இப்போது, $\sqrt{2}$ என்ற எண்ணை விகிதமுறு பின்னமாக எழுதமுடியும் என்று நினைத்துக்கொள்வோம்.

அதாவது, $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$

இங்கு மேலே குறிப்பிட்டுள்ள பின்னம், மிகவும் சுருக்கப்பட்ட வடிவிலானது. இதற்குமேல் இந்த பின்னத்தைச் சுருக்கமுடியாது. இப்போது, இரண்டு பக்கங்களையும் வர்க்கம் செய்யுங்கள்.

$2=\frac{p^2}{q^2}$

அல்லது, $p^2=2q^2$

நாம் ஏற்கெனவே பார்த்ததுபோல, ஓர் எண்ணின் வர்க்கம் இரட்டைப்படை எண்ணாக இருந்தால், அந்த எண்ணுமே இரட்டைப்படை எண். எனவே $p=2m$ என்று வருமாறு $m$ என்ற எண் இருக்கவேண்டும். அப்படியென்றால்,

$p^2=4m^2$

அல்லது, $q^2=2m^2$

அப்படியென்றால், $q$ கூட இரட்டைப்படை எண்ணாகத்தான் இருக்கவேண்டும்.

அதாவது, $p$, $q$ ஆகிய இரண்டுமே இரண்டால் வகுபடக் கூடியவை. அப்படியென்றால் அந்த பின்னத்தை மேலும் சுருக்கமுடியும். ஆனால் இது நாம் ஏற்கெனவே இந்த பின்னத்தை இதற்குமேல் சுருக்கமுடியாது என்று சொல்லியிருந்தோம். எனவே $\sqrt{2}$ என்பதை விகிதமுறு பின்னமாக எழுத முடியாது என்ற முடிவுக்கே நாம் வரவேண்டும்.

இப்படிப்பட்ட எண்களை விகிதமுறா எண்கள் (Irrational numbers) என்று சொல்வோம். ஒவ்வொரு முழு எண்ணுடைய வர்க்கமூலம், ஒன்று மற்றொரு முழு எண்ணாக இருக்கும், அல்லது விகிதமுறா எண்ணாக இருக்கும். (2, 3 ஆகியவற்றின் வர்க்கமூலம் விகிதமுறா எண்ணாக இருக்கும். ஆனால் 4-ன் வர்க்கமூலம் 2. மீண்டும் 5, 6, 7, 8 ஆகியவற்றின் வர்க்கமூலம் விகிதமுறா எண்கள். 9-ன் வர்க்கமூலம் 3. எந்த முழு எண்ணின் வர்க்கமூலமும் இப்படித்தான் இருக்கும் என்பதை எப்படி நிரூபிப்பது என்று யோசியுங்கள்.)

நாம் மேலே பார்த்த நிரூபணத்தை முதலில் எழுதிவைத்தவர் யூக்ளிட் என்பவர். சுமார் 2300 ஆண்டுகளுக்குமுன் கிரேக்கத்தில் வாழ்ந்தவர். அலெக்சாண்டிரியா பல்கலைக் கழகத்தின் பேராசிரியராக இருந்தவர். Elements என்ற புத்தகத்தை எழுதினார். இதில் அதுவரையில் தெரிந்திருந்த பல கணித உண்மைகளைத் தொகுத்து வைத்தார். யூக்ளிட் பற்றி நாம் நிறையத் தெரிந்துகொள்ளவேண்டும். இவரை மீண்டும் மீண்டும் பார்க்கப்போகிறோம்.

ஓர் எண்ணுக்கு வர்க்கத்தைப் போன்றே, வெவ்வேறு படிகள் உண்டு. வர்க்கம் என்பது இரண்டாம் படி. கனம் என்றால் மூன்றாம் படி. அதாவது ஓர் எண்ணை மூன்றுமுறை அதனாலேயே பெருக்கவேண்டும். $2^3$ என்றால் 2x2x2 = 8. $3^3$ என்றால் 3x3x3 = 27. வர்க்கமூலத்தைப் போன்றே கனமூலம் உண்டு. 8-ன் கனமூலம் 2. 27-ன் கனமூலம் 3. இரண்டாம்படி, மூன்றாம்படி போன்று எத்தனை படிகள் வேண்டுமானாலும் மேலே போய்க்கொண்டே இருக்கலாம். 2-ஐ ஐந்துமுறை பெருக்கினால் - அதாவது 2x2x2x2x2 = 32 - கிடைப்பது 2-இன் ஐந்தாம் படி. முழு எண்களின் வர்க்கமூலங்களைப் போன்றே கனமூலங்கள், நான்காம், ஐந்தாம் மூலங்கள் ஒன்று முழு எண்ணாக இருக்கும், அல்லது விகிதமுறா எண்களாக இருக்கும். இப்படி உருவாகும் விகிதமுறா பின்னங்கள் அனைத்தையும் பலபடிச் சமன்பாடுகளின் விடைகளாகப் பார்க்கமுடியும்.

பலபடிச் சமன்பாடுகள் (Polynomial Equations) என்றால் என்ன என்று நாளை பார்ப்போம்.